Барабанова И.А., Савкин А.Б.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ – ВАЖНОСТЬ И ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ В ВОЕННОМ ВУЗЕ *
Аннотация:
в работе представлены особенности изучения темы: «Непрерывность функции в точке», рассмотрены основные аспекты этого понятия. Ключевые особенности изучения непрерывности. Показана роль данной темы в дисциплине: «Математический анализ»
Ключевые слова:
непрерывность, точка разрыва, предел
УДК 510.2
Барабанова И.А.
преподаватель 206 кафедры математики
Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил
«Военно-воздушная академия имени профессора
Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»
(г. Воронеж, Россия)
Савкин А.Б.
курсант 1 курса
Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил
«Военно-воздушная академия имени профессора
Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»
(г. Воронеж, Россия)
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ – ВАЖНОСТЬ И ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ В ВОЕННОМ ВУЗЕ
Аннотация: в работе представлены особенности изучения темы: «Непрерывность функции в точке», рассмотрены основные аспекты этого понятия. Ключевые особенности изучения непрерывности. Показана роль данной темы в дисциплине: «Математический анализ».
Ключевые слова: непрерывность, точка разрыва, предел.
Непрерывность - одно из основных свойств функций. Решение о том, непрерывна данная функция или нет, позволяет судить о других свойствах исследуемой функции. Поэтому, так важно исследовать функции на непрерывность. К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая, в первую очередь, различные законы движения. Например, зависимость, пути от времени, выраженная законом s = f(t), даёт пример непрерывной функции f(t). Непрерывно изменяется и температура нагреваемой воды, она также является непрерывной функцией от времени T = f(t). Непрерывна и линия, если её можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Эта линия является графиком непрерывной функции. Важность изучения этого понятия велика, поскольку встречается на протяжении всего изучения дисциплины «Математический анализ». В данной статье представлены особенности изучения этой темы и показаны основные аспекты представления материала на занятиях в военном вузе.
Безусловно, необходимо начать с определения непрерывности, которых достаточно много. Рекомендуются следующие формулировки:
1) Функция , определенная на интервале , называется непрерывной в точке , если .
2) Функция , определенная на интервале , называется непрерывной в точке , если для любой последовательности , , такой, что , последовательность сходится и . Эту форму определения непрерывности функции называют определением непрерывности функции на «языке последовательностей» или определением по Гейне.
3) Функция , определенная на интервале , называется непрерывной в точке , если , что для всех x , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Данная формулировка называется определением непрерывности на «языке » или определением по Коши.
4) Функция называется непрерывной в точке , если , что . Данное определение называют определением непрерывности на языке окрестностей.
Важно, чтобы учащиеся отделяли основные условия непрерывности:
1) функция должна быть определена в некоторой окрестности точки ;
2) должны существовать конечные односторонние пределы и ;
3) эти пределы должны быть одинаковы;
4) эти пределы должны быть равны .
Также, необходимо охарактеризовать непрерывность функции в точке справа и слева, желательно показать на графике.
1)Пусть функция , определена на полуинтервале и . Функция называется непрерывной слева в точке , если (рис. 1).
Рис. 1. Непрерывность слева Рис. 2. Непрерывность справа
2) Пусть функция , определена на полуинтервале и . Функция называется непрерывной справа в точке , если (рис. 2).
Очевидно, что функция, непрерывная в точке справа и слева, непрерывна в этой точке; функция, непрерывная в точке, непрерывна в ней и слева, и справа.
Если в точке нарушается хотя бы одно из условий непрерывности, то говорят, что эта точка есть точка разрыва функции . Здесь необходимо дать определение и рассмотреть виды точек разрыва.
При изучении непрерывности рекомендуется привести ряд теорем и лемм.
1) Теорема (о свойствах арифметических операций с непрерывными функциями). Если функции и непрерывны в точке , то функции (с – постоянная), , , а если, кроме того , то и функция – также непрерывны в точке .
2) Лемма. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , тогда существует -окрестность такая, что при имеет смысл сложная функция .
3) Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , тогда сложная функция непрерывна в точке .
При отыскании пределов непрерывных функций теорему о непрерывности сложной функции удобно использовать еще в одном виде, в виде следующего правила. Правило замены переменных для пределов непрерывных функций .
Итак, исследование функции на непрерывность сводится к следующему алгоритму:
1) найти область определения и точки, подозрительные на разрыв;
2) найти односторонние пределы для каждой подозрительной точки;
3) вычислить значение функции в этих точках;
4) проклассифицировать характер разрыва;
5) построить эскиз графика. Если необходимо вычислить пределы функции на бесконечностях.
При этом, важно понимать, что если в той или иной задаче речь идет о непрерывности функции, то она непрерывна либо в какой-то точке, либо на отрезке, интервале или полуинтервале. В любом случае, основополагающим принципом является ее непрерывность в точке.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
Номер журнала Вестник науки №6 (63) том 1
Ссылка для цитирования:
Барабанова И.А., Савкин А.Б. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ – ВАЖНОСТЬ И ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ В ВОЕННОМ ВУЗЕ // Вестник науки №6 (63) том 1. С. 1115 - 1120. 2023 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/8721 (дата обращения: 15.05.2024 г.)
Вестник науки СМИ ЭЛ № ФС 77 - 84401 © 2023. 16+