Барабанова И.А.
ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ» И ЕЕ РОЛЬ В ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» *
Аннотация:
в данной работе рассмотрены особенности и основные моменты изучения темы: «Непрерывность функции в точке», освящены основные аспекты этого понятия. Показана роль данной темы в дисциплине: «Математический анализ». Раскрыт алгоритм исследования функции на непрерывность.
Ключевые слова:
последовательность, непрерывность, точка разрыва, предел, односторонний предел
Одно из важнейших свойств функции в математическом анализе является непрерывность. Исследование функции на непрерывность позволяет судить о других свойствах исследуемой функции. На понятие непрерывности, необходимо обращать внимание обучающихся с первых дней изучения функции и в дальнейшем, поскольку тенденция показывает, что обучающиеся явно не придают этому понятию роль. В качестве примера, проиллюстрировать непрерывность можно, изучая физику: различные законы движения, непрерывность изменения температуры нагреваемой воды и прочее. Простейшая иллюстрация - непрерывная линия, которую нарисовали без разрыва, она же и будет являться графиком непрерывной функции. Важность изучения этого понятия велика, поскольку встречается на протяжении всего изучения не только дисциплины «Математический анализ», но и других дисциплин. В данной статье представлены особенности изучения этой темы и показаны основные аспекты представления материала на занятиях в вузе.Как правило, изучение непрерывности начинается на первых лекционных занятиях и первое, что рассматривается, это определение понятия, которых достаточно много. Мы остановились на некоторых из них:1) Функция f(x), определенная на интервале (a, b), называется непрерывной в точке, если.2) Функция, определенная на интервале, называется непрерывной в точке, если, что для всех x , удовлетворяющих условию, выполняется неравенство. Данная формулировка называется определением непрерывности на «языке» или определением по Коши. 3) Функция f(x), определенная на интервале, называется непрерывной в точке, если для любой последовательности, , такой, что, последовательность сходится и. Эту форму определения непрерывности функции называют определением непрерывности функции на «языке последовательностей» или определением по Гейне.4) Функция называется непрерывной в точке, если, что. Данное определение называют определением непрерывности на языке окрестностей.В зависимости от специальности, количество часов на дисциплину «Математический анализ» варьируется, поэтому количество определений может меняться. Далее, рассматриваются основные условия непрерывности: 1) функция f(x) должна быть определена в некоторой окрестности точки x0,2) должны существовать конечные односторонние пределы и,3) эти пределы должны быть одинаковы,4) эти пределы должны быть равны f (x0).Необходимо показать непрерывность функции в точке справа и слева, желательно показать на графике и пояснить форму записи.1)Пусть функция, определена на полуинтервале и. Функция называется непрерывной слева в точке, если (рис. 1). Рис. 1. Непрерывность слева Рис. 2. Непрерывность справа2) Пусть функция, определена на полуинтервале и. Функция называется непрерывной справа в точке, если значение предела функции равно значению функции в точке x0. Проиллюстрировано на рисунке 2.Если в точке x0 нарушается хотя бы одно из условий непрерывности, то эта точка - точка разрыва функции f(x). При изучении этого понятия необходимо дать определение и рассмотреть виды точек разрыва. Достаточно сформулировать определения, показать на графике и привести примеры функций, у которых есть разрыв.Далее, сформулируем ряд теорем и лемм, в которых понятие непрерывности играет определенную роль. 1) Если функции и непрерывны в точке, то функции (с – постоянная), , , а если, кроме того, то и функция – также непрерывны в точке (теорема о свойствах арифметических операций с непрерывными функциями).2) Пусть функция непрерывна в точке, а функция непрерывна в точке, тогда существует -окрестность такая, что при имеет смысл сложная функция (Лемма).3) Пусть функция непрерывна в точке, а функция непрерывна в точке, тогда сложная функция непрерывна в точке (теорема о непрерывности сложной функции).При случае нахождения пределов непрерывных сложных функций, возможно использование замены переменных по формуле:.Таким образом, освящая основные моменты понятия непрерывности у учащихся должен сформироваться следующий алгоритм:1) найти область определения и точки, подозрительные на разрыв,2) найти односторонние пределы для каждой подозрительной точки,3) вычислить значение функции в этих точках,4) проклассифицировать характер разрыва,5) построить эскиз графика. Если необходимо вычислить пределы функции на бесконечностях.При этом, понимаем, что если речь идет о непрерывности функции, то она может быть непрерывна в какой-то точке, либо на отрезке, интервале или полуинтервале. В любом случае, основополагающим принципом является ее непрерывность в точке. Подготовка к восприятию важнейшего понятия в математике способствует глубокому пониманию сути понятия, а также совершенствованию навыка проведения доказательств.
Номер журнала Вестник науки №3 (72) том 5
Ссылка для цитирования:
Барабанова И.А. ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ» И ЕЕ РОЛЬ В ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» // Вестник науки №3 (72) том 5. С. 627 - 631. 2024 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/13628 (дата обращения: 17.05.2024 г.)
Вестник науки СМИ ЭЛ № ФС 77 - 84401 © 2024. 16+