Сырлыбаев А.Р., Чигиринский В.В.
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ *
Аннотация:
на базе метода аргумент функций и метода функций комплексного переменного получены обобщающие решения плоской задачи теории упругости с использованием инвариантных дифференциальных соотношений, способных замкнуть результат для поставленной системы уравнений. Исследовано напряженное состояние упругого полупространства под действием массивного тела в условиях шероховатой контактной поверхности. Проанализированы распределения нормальных и касательных напряжений в глубине массива.
Ключевые слова:
теория упругости, аргумент функции, соотношения Коши-Римана, уравнения Лапласа, граничные условия
В механике грунтов рассматриваются общие закономерности взаимодействия под нагрузкой горных пород разной деформируемости, устойчивости и прочности. Для создания математической модели напряженно деформированного состояния грунтов используются разные направления механики сплошной среды: теоретическая механика, теория упругости, пластичности, теория динамических процессов и т.д. Предварительный анализ показывает, что нагружения горных пород происходит по разным причинам и при разных условиях их взаимодействия. Это значительно усложняют задачу с практической точки зрения. Возникает необходимость оценки напряженного состояния при: создании искусственных откосов, каналов, дамб и карьеров.При реализации подземных выработок большое внимание уделяют устойчивости горных пород, и особенностям напряженно деформированого состояния массивов. Основные проблемы вызваны сложностью строительства и поддержания горно-капитальных выработок в тектонически напряженных низкопрочных массивах трещиноватых скальных горных пород. В данных условиях, несмотря на сравнительно высокую прочность горных пород в образцах, нарушения устойчивости приконтурного массива подземных выработок происходят даже при сравнительно небольших обнажениях и невысоком уровне напряжений и деформаций. В подземных выработках на прочность массива влияют: многочисленные хаотичные трещины и разно-ориентированные тектоническими нарушениями на структурные блоки. Вероятностная природа и пространственно-временная изменчивость данных показателей обуславливают необходимость в проведении натурных инструментальных исследований на различных масштабных уровнях.Основные задачи, которые возникают в процессе освоения полезных ископаемых, это создание условий, обеспечивающих устойчивость, прочность и надежность породных массивов, позволяющих эффективно и безопасно реализовывать технологические режимы добычи полезных ископаемых.Следует отметить, что ежегодный ущерб от оползневых явлений во всем мире составляет огромные суммы, соизмеряемые с ущербами от землетрясений, такое же соотношение с человеческими жертвами. Поэтому проблема количественного прогнозирования устойчивости, ползучести и прочности склонов и откосов имеет первостепенное народно-хозяйственное значение.Цель и задачи. Целью исследования является разработка методики расчетов напряженного состояния полупространства под действием массивных тел в условиях шероховатой контактной поверхности.Задачи исследования. - разработка математической модели напряженного состояния полупространства в условиях шероховатой контактной поверхности,- исследования напряженного состояния упругого полупространства под действием массивного тела в условиях шероховатой контактной поверхности,- анализ полученного результата распределения нормальных и касательных напряжений в глубине массива.Состояние вопроса.Первой фундаментальной теоретической работой по механике грунтов следует считать работу Ш. Кулона (1773) о давлении грунта на подпорные стенки [1]. В 1885 г. был опубликован труд профессора Ж. Буссинеска «О распределения напряжений в упругой почве от сосредоточенной сил». В [2] решение задачи Буссинеска обобщено на случай полупространства, лежащего на упругом основании.В 1915 г. профессор П.А. Миняев впервые применил теории упругости к расчету напряжений в сыпучих грунтах [3].В дальнейшим получили развитие работы, связанные с полубесконечным пространством под воздействием сосредоточенных сил и действия жесткого штампа. В работе [4] предложены решения действия жесткого штампа на упругое полу бесконечное пространство, получено следующие выражение: наименьшее значение при х=0 по краям жесткого штампа теоретически становится бесконечным. В задаче Штаермана показано, что бесконечный результат по краям может быть скорректирован из-за микроструктуры сменяемых тел. На рисунке 1 показано распределения напряжения под жестким штампом при различных характеристиках состояния среды.Рис. 1. Распределение напряжений под жестким штампом в зависимости от смягчения профиля закраины (по Штаерману). В работе [5] на современном уровне показаны распределения напряжений не только в тонком подстилочном слое, но и в массивах грунта. Как правило рассматривалась плоская упругая задача, которая позволила решить ряд практических задач. На рисунке 2 представлены распределения нормальных напряжений по ширине поверхности полупространства и в глубину под сосредоточенной силы. Рис. 2. Определения сжимающих напряжений в грунте при действии сосредоточенной силы.Видно, что на линии действии силы расположены максимальные нормальные напряжения, а по бокам минимальные. Так же видны распределения нормальных напряжений в глубине массива, которые имеют затухающий характер. Под действием штампа имеем распределения сжимающих напряжений по глубине массива Рисунок 3 [6].Рис. 3. Определения сжимающих напряжений при действии равномерно распределенной нагрузки. В зависимости от нагружения могут быть варианты деформируемого напряженного состояния, когда упругие перемещения в вертикальных и горизонтальных направлениях создают зоны затрудненных деформаций, которые представлены на рисунке 4.Рис. 4. Зоны затруднённых деформаций.Под штампом находится зона затрудненных деформаций, которая ведет себя как абсолютно жесткое тело. Сопоставляя данную схему с напряжённым состоянием на рисунке 3 можно объяснить такое появления нагружения с механистической точки зрения. Частицы упругой среды перемещаются из областей большого нагружения в области меньшего нагружения поэтому частицы стремятся с крайних зон нагружения, с области большого нагружения, перемещается в середину, в зону минимального нагружения. Это вызывает застойные процессы и полное отсутствие пластической и упругой деформации по всем направлениям.В работах [7] решалась задача действия сосредоточенной силы на клин полуупругого пространства. Определены выражения нормальных напряжений в глубине клина при отсутствии в решении касательных и поперечных нормальных напряжений. В работе [9] показаны решения плоской задачи теории упругости в полупространстве под действием сосредоточенной силы. Как и предыдущих статьях здесь рассмотрены изменения напряжения сжатия по глубине пространства, без учета касательных напряжений и без учета поперечного нормального напряжения.В работе [10] показано влияние геометрии полупространства не только на напряжения и сжатие по глубине, но и касательных напряжении. Когда геометрия полупространства определяет нагружения сосредоточенности на дне траншеи, тогда в приконтактных слоях породы показатели нормальных и касательных напряжений достигают своего максимума. В публикациях [9]…[12] предложен новый метод решения задачи механики сплошной среды, метод аргумент функции комплексной переменной. Из литературных данных видно, что изучения напряженного состояния в упругом и пластическом полупространстве в горных массивах разной глубины представляет собой актуальную проблему механики сплошной среды. В решениях на современном этапе эффективно используется метод аргумент функции комплексной переменой, однако из представленных анализов видно, что влияние касательных напряжений представлено не в совсем полной мере, что не позволяет адекватно оценить его влияния на прочностные характеристики горных пород. Возникает необходимость на современном уровне выполняемых решений, усилить известные решения и обеспечить реальную достоверность полученного результата.Постановка плоской задачи теории упругости. Для плоской задачи выбраны три уравнения теории упругости, два дифференциальных уравнения равновесия, условие неразрывности деформации через напряжения и граничные условия.
В соответствии с формулой (5), были рассчитаны контактные напряжения и напряжения в глубине массива, рисунок 5.Рис. 5. Распределение нормальных напряжений на контакте и в глубине полупространства при действии плоского штампа без учета трения. Из решения (4) видно, что нулевые касательные напряжения не отрицают их наличие в глубине полупространства. Получено устойчивая затухающая функция в глубину полупространства и вогнутая эпюра контактных нормальных напряжений, которая ранее определялась в классических решениях [4], [5], [7], [8].При такой постановке вопроса теоретический и практический представляет интерес для решения задачи шероховатой контактной поверхности. Рассмотрим решение плоской задачи теории упругости в условиях шероховатой контактной поверхности. Разработка математической модели напряженного состояния полупространства в условиях шероховатой контактной поверхности. Воспользуемся постановкой задачи (1) и граничными условиями (2). Упрощая граничные условия через тригонометрическую подстановку вводится в рассмотрение первая аргумент функция АФ. Из условия решения вводится вторая аргумент функция ?, определяющая фундаментальную подстановку exp??. С учетом тригонометрической и фундаментальной подстановки в уравнение неразрывности деформации с учетом функции комплексной переменной [9] получено дифференциальное уравнения в виде.Из этого следует что данное дифференциальное уравнение будет удовлетворено тогда, когда выполняется соотношения Коши-Римана и уравнения Лапласа. Отсюда существует возможность в получении нового решения при взаимодействии тел с шероховатой контактной поверхностью. В результате решения дифференциальных уравнений (7), имеем.
На основании анализа полученных выражений (10) установлено, что: f и b- коэффициент трения на контактной поверхности и полуширина массивного основания, рисунок 7.Граничные условия вида : при x= b, y= 0, ?y= k1, ?xy=f · k1, АФ= АФ1, ?= ?1. Подставляя граничные условия в решение (4) находим постоянную.
Рис. 6. Действие массивного основания на упругое полупространство.В итоге разработана математическая модель напряженного состояния полупространства в условиях шероховатой контактной поверхности.Исследования напряженного состояния упругого полупространства под действием массивного тела в условиях шероховатой контактной поверхности.На основании выражений (10), были проведены исследования напряженного состояния массива при действии массивных внешних тел с шероховатой контактной поверхностью. На рисунках (7) - (8) показаны распределения контактных нормальных и касательных напряжений в глубину массива с учетом влияния ширины основания, а также коэффициента трения.Рис. 7. Распределение нормального напряжения на контакте и в глубине массива с коэффициентом трения f=0,3 и с шириной b=60. Рис. 8. Распределение касательных напряжений на контакте и в глубине массива с коэффициентом трения f=0,3 и с шириной b=60.Сопоставляя результаты исследования с данными других авторов, убеждаемся в том, что они в качественном и количественном отношении совпадают. На контакте со штампом в полубесконечном пространстве эпюра нормальных контактных напряжений имеет вогнутый характер. Это свидетельствует о достоверности полученного результата. В глубине пространства имеет место затухание напряженного состояния среды к нулевой отметке. Как показывает анализ под действием максимальных касательных напряжений развиваются линии скольжения в массивах, которые опасны тем, что они являются источниками сдвигов, обрушений и проседанию породных массивов. Видны распределения касательных напряжений, величины которых максимальны на глубине 70, в угловых зонах нагружения такое напряженное состояние грунтов показывает возможности разрушения под действием касательных напряжения с учетом коэффициентом трения.На рисунке 9 показано влияния коэффициента трения f=0,1 – 0,5 на распределения нормальных напряжений в глубину по краям штампа x= b и в центре x= 0, с шириной основания b=60.Рис. 9. Распределение нормальных напряжений на контакте и в глубине массива по краям штампа и в центре с шириной основания b=60.На рисунке 10 показано влияние коэффициента трения f=0,1 – 0,5 на распределения касательных напряжений в глубину по краям штампа x= b, с шириной основания b = 60.Рис. 10. Распределение касательных напряжений на контакте и в глубине массива по краям штампа с шириной основания b=60. На рисунке 11 показано влияние ширины основания b=20 – 100 на распределения нормальных напряжений в глубину по центру x=0, с коэффициентом трения f= 0,3Из полученных графиков (рисунок 9) видно, что с увеличением коэффициента трения глубина затухания нормальных напряжений не значительно увеличивается. Из рисунка 5 видно, что металл течет из зоны большого нагружения в зону меньшего нагружения. Судя по рисунку металл из центра растекается в горизонтальной оси в противоположном направлении, это дает касательное напряжение одного знака.Рис. 11. Распределение нормальных напряжений на контакте и в глубине массива в центре штампа, с разными ширинами с коэффициентом трения f=0,3.Касательные напряжения в приконтактных слоях перемещается к центру такое положение объясняется переменой знака на контакте (зона затрудненных деформаций) рисунок 10. С увеличением коэффициента трения глубина максимального касательного напряжения увеличивается, а глубина затухания идентична нормальному напряжению.Также показано (рисунок 11) что с увеличением ширины основания глубина затухания нормальных напряжений значительно увеличивается.Заключение.1. Разработана математическая модель напряженного состояния полупространства в условиях шероховатой контактной поверхности.2. Исследовано напряженное состояние упругого полупространства под действием массивного тела в условиях шероховатой контактной поверхности. Сравнивая гладкую и шероховатую контактную поверхность (рисунки 6,8), нормальные напряжения с гладкой поверхностью по центру равны 1, а по бокам 1,4. А шероховатая контактная поверхность на контакте имеет по центру напряжения 1, а по бокам 1,1. Нормальные напряжения с гладкой поверхностью затухают на глубине 400, а с шероховатой затухает на глубине 300. 3. Проанализированы полученные результаты распределения нормальных и касательных напряжений в глубине массива. На рисунке 12 видно, что на ширине основания b=20 нормальные напряжения затухают на глубине 65, с b=40 на глубине 140, b=60 на глубине 200, b=80 на глубине 260, b=100 на глубине 320.
Финансирование: Данное исследование финансировалось Комитетом науки Министерства науки и высшего образования Республики Казахстан (Грант № АР 19678682)
Номер журнала Вестник науки №3 (72) том 4
Ссылка для цитирования:
Сырлыбаев А.Р., Чигиринский В.В. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ // Вестник науки №3 (72) том 4. С. 549 - 569. 2024 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/13527 (дата обращения: 17.05.2024 г.)
Вестник науки СМИ ЭЛ № ФС 77 - 84401 © 2024. 16+