Макеев Н.Н.
ДВИЖЕНИЕ СЛОЖНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА УПРАВЛЯЮЩИХ СВЯЗЯХ *
Аннотация:
методом подбора программно заданных управляющих связей формируется алгоритм управления изменением во времени величины массы и структурно-кинетической конфигурации механической системы. Для параметров движения системы построена нестационарная динамическая модель осцилляторного типа
Ключевые слова:
сложная механическая система; программная управляющая связь; гиродинамический момент; программное управление
DOI 10.24412/2712-8849-2023-764-189-196
УДК 517.933
Макеев Н.Н.
научный сотрудник
Саратовский научный центр РАН
(г. Саратов, Россия)
ДВИЖЕНИЕ СЛОЖНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА УПРАВЛЯЮЩИХ СВЯЗЯХ
Аннотация: методом подбора программно заданных управляющих связей формируется алгоритм управления изменением во времени величины массы и структурно-кинетической конфигурации механической системы. Для параметров движения системы построена нестационарная динамическая модель осцилляторного типа.
Ключевые слова: сложная механическая система; программная управляющая связь; гиродинамический момент; программное управление.
Введение
Под сложной механической системой (СМС, термин [1]) понимается механический объект, структурная модель которого предполагает непрерывное изменение во времени его состава массы и (или) структурно-кинетической конфигурации. Это изменение задаётся детерминированной управляющей программой, построенной для интервала времени Данная программа определяет открытое связное множество структурно-динамических параметров СМС (в том числе, управляющих) так, что система её динамических уравнений аналитически замкнута относительно всех компонент вектора абсолютной угловой скорости механического объекта. При этом аналитические ограничения, налагаемые на управляющие параметры СМС, являются заданными управляющими связями, определяющими характер движения и состояния СМС. В связи с этим возникает задача выделения множества управляющих связей и о способе их выбора в соответствии с адекватной аппроксимационной моделью механического объекта.
Введём координатные ортобазисы с общим началом в центре масс С системы: базис жёстко связанный с неизменяемой основой СМС, и базис оси Cxj которого в каждый момент направлены по главным в центре С осям тензора инерции СМС. Главные центральные осевые моменты инерции СМС заданы относительно базиса как функции класса Вследствие изменения состава массы и конфигурации в общем случае базис вращается относительно со скоростью . Рабочее тело (РТ) СМС находится в односвязной ограниченной неизменной области D, в которой его частицы движутся со скоростью относительно базиса
Предполагается, что величины для заданы управляющей программой как функции необходимой степени гладкости. Приведённые здесь положения составляют структурную модель механического объекта − СМС, подробно описанную в работах [2, 3].
Программное управление движением СМС реализуется во времени заданной управляющей программой посредством введения алгоритма относительного движения РТ СМС через управляющий вектор-параметр системы, которым является кинетический момент присоединённой массы − рабочего тела этой системы − относительно центра С [4], называемый гиродинамическим моментом
Здесь ρ − локальная плотность массы РТ в произвольной точке внутри области D; эта точка определяется радиусом-вектором r, проведённым из центра масс данной системы.
Рассмотрим вопрос о формировании аналитического алгоритма программного движении присоединённой массы СМС [4] (её рабочего тела) относительно ортобазиса и об управлении этим движением.
Гиродинамический момент определяется уравнением [2]
(1)
где − сумма результирующих моментов относительно центра С реактивных и вариационных сил, соответственно. Вариационные силы [3] обусловлены конвекционным (в смысле массопереноса) отсоединением или присоединением масс РТ, происходящем в момент времени со скоростью и ускорением , заданных определённой управляющей программой.
Равенство (1) является определяющим уравнением относительно гиродинамического вектор-параметра при заданном начальном условии. Эта определяющая зависимость в общем случае детерминирована всегда, кроме некоторых особых случаев. Один из этих случаев характеризуется моделью структурно изменяемого объекта, при которой траектории частиц РТ в их относительном движении являются лучами, исходящими из центра С. В этом случае уравнение (1) вырождается в тривиальное тождество. Если, в частности, выполняется условие [4]
то получаем
где − заданный коэффициент подобия при массоизменении СМС, − символ нулевого класса функции.
Уравнение (1), рассматриваемое на управляющей связи
имеет первый квадратичный интеграл
(2)
В этом случае траектории апекса вектора управления для расположены на сфере (2).
Применяя принятый алгоритм преобразования [4], выделим из системы скалярных уравнений (1) интегро-дифференциальное уравнение, являющееся определяющим для функции
(3)
В уравнении (3) обозначено
где верхний нулевой индекс здесь и далее везде соответствует значению данной функции при t = 0.
Если решение уравнения (3) известно, то зависимости определяются равенствами
(4)
(5)
Структура определяющего уравнения (3) позволяет выделить ряд случаев его точного интегрирования в конечной форме при определённых ограничениях (связях), наложенных на величины В частности, на связи
(6)
уравнение (3) вырождается в линейное уравнение вида
(7)
В уравнении связи (6) обозначено
где α − характерная постоянная, существующая при условии
Структурно - кинетическая управляющая связь (6) выражает коллинеарность проекции вектора на координатную плоскость вектору или ортогональность этой проекции вектору
Приведём интерпретацию связи с уравнением (6). Введём систему дифференциальных ограничений, заданных уравнениями
(8)
имеющую первый интеграл
(9)
В пространстве квазикоординат уравнение (9) определяет круговой цилиндр радиуса с осью, совпадающей с осью координатного ортобазиса Эта поверхность является носителем подвижного годографа вектора для Следует отметить, что согласно второму ограничению (8) функция , содержащаяся в уравнении (7), тождественно равна нулю.
Введём соотношения
(10)
каждое из которых является уравнением программной связи для данной СМС при Выражения (10) удовлетворяют уравнениям (6), (9) и при этом имеем
(11)
Согласно выражениям (6), (8)−(11) определяющее уравнение (7) упрощается и принимает вид
(12)
где обозначено
Как следует из уравнения (12), на управляющих связях (10) проекция апекса вектора на координатную ось движется как одномерный гармонический осциллятор с собственной частотой ω0, находящийся под нестационарным силовым воздействием
Поскольку решение уравнения известно [5, c. 102], то соотношения (4), (5) однозначно определяют выражения для указанных в них гиродинамических параметров.
Заключение
Результирующее относительное движение РТ СМС, реализующееся на выбранных управляющих связях, аппроксимируется движениями одномерных осцилляторов: гармоническим колебанием с собственной частотой ω0 по координатной оси ортобазиса и квазигармоническими движениями по остальным координатным осям данного базиса.
Отметим, что основное определяющее интегро-дифференциальное уравнение (3) вырождается в дифференциальное, помимо указанного выше случая, также и при когда оно принимает вид (7). Для этого уравнения решение при ограничено, если при выполняется достаточное условие [6, с. 31]
где − монотонная функция.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
Номер журнала Вестник науки №7 (64) том 1
Ссылка для цитирования:
Макеев Н.Н. ДВИЖЕНИЕ СЛОЖНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА УПРАВЛЯЮЩИХ СВЯЗЯХ // Вестник науки №7 (64) том 1. С. 189 - 196. 2023 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/9442 (дата обращения: 19.05.2024 г.)
Вестник науки СМИ ЭЛ № ФС 77 - 84401 © 2023. 16+