Розыева О.Б., Мурадова М.М.
МАТРИЦЫ: КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ И ПРИЛОЖЕНИЯ. РОЛЬ МАТРИЦ В ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ *
Аннотация:
матрица, математический объект, представленный в виде таблицы, играет ключевую роль в различных областях. Структура матрицы включает строки и столбцы, содержащие элементы из кольца или поля чисел.
Ключевые слова:
матрицы, линейная алгебра, операции с матрицами, умножение матриц, транспонирование, системы линейных уравнений, абелева группа, модуль, линейные операторы, типы матриц, нормальные формы, жорданова нормальная форма
Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.Для матрицы определены следующие алгебраические операции:сложение матриц, имеющих один и тот же размер,умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую n строк),в том числе умножение матрицы на вектор-столбец и умножение вектор-строки на матрицу (по обычному правилу матричного умножения, вектор является в этом смысле частным случаем матрицы),умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр).Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу, если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n, и обратно — каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.То же можно сказать о представлении матрицами билинейных (квадратичных) форм.В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью.
Номер журнала Вестник науки №1 (70) том 3
Ссылка для цитирования:
Розыева О.Б., Мурадова М.М. МАТРИЦЫ: КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ И ПРИЛОЖЕНИЯ. РОЛЬ МАТРИЦ В ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ // Вестник науки №1 (70) том 3. С. 859 - 862. 2024 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/12554 (дата обращения: 18.05.2024 г.)
Вестник науки СМИ ЭЛ № ФС 77 - 84401 © 2024. 16+